11/Jul/03

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Una profesora de Matemática de la UBA gana una beca Guggenheim

La edición 2003 de las becas otorgadas por la John Simon Guggenheim Memorial Foundation distinguió a Ursula Molter, profesora del Departamento de Matemática de nuestra Facultad, por sus trabajos en el campo del Análisis Armónico. Molter resultó ser la única matemática seleccionada entre los 37 latinoamericanos premiados, que constituyeron aproximadamente el 5% de los postulantes.

(Prensa de la FCEyN de la UBA) La siguiente es una entrevista a Ursula Molter, profesora del Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires (UBA) y ganadora de la beca John Simon Guggenheim. La entrevista fue realizada por Carlos Borches.

—En el informe difundido por la Fundación Guggenheim se dice muy escuetamente que Ud. ha sido seleccionada por sus trabajos en "Análisis Armónico y aplicaciones" ¿Nos podría dar un poco más de detalle?

—Nuestro trabajo esta centrado en los problemas de Muestreo, que consisten básicamente en recuperar una señal cuando se dispone sólo de información dispersa de ella. Si esa información esta distribuida regularmente en el tiempo, entonces el problema es matemáticamente claro y hay soluciones satisfactorias. Si se tiene una función con una única variable independiente y los datos vienen dados de manera irregular sobre la recta, entonces el problema de recuperar la función se complica mucho, pero algo se sabe. Ahora, si la función depende de más de una variable y los datos están distribuidos en forma irregular, entonces no se sabe prácticamente nada. En este caso estamos frente a un problema de muestreo irregular multidimensional y eso es lo que estudiamos nosotros.

—La Fundación premia a quienes tengan un proyecto de interés pero que al mismo tiempo acrediten de una trayectoria que permita pensar que el proyecto será encarado con éxito, precisamente: ¿Qué avances encontró en su campo?

—Junto a Carlos Cabrelli, también del Departamento de Matemática de la FCEyN y Christopher Heil, del Georgia Institute of Technology, hemos desarrollado la teoría de existencia y unicidad de wavelets: ondeletas con multiplicidad en varias variables. Este tema está íntimamente relacionado con el problema que pretendo atacar, ya que el problema de muestreo irregular se puede relacionar directamente con la construcción de marcos en Rn. Creemos que algunas de las técnicas que utilizamos para la construcción de las wavelets puedan adaptarse para el problema propuesto.

La Fundación cree, y yo también tengo fe, que podemos ahora dedicarnos con mucha concentración a unir todas estas partes y encontrar métodos que mejoren el problema de recuperar las funciones.

—El Departamento de Matemática de la FCEyN tiene una importante tradición en el campo del análisis armónico, pero, ¿cómo encaja el análisis armónico en el problema del muestreo?

—Las herramientas básicas en el estudio del muestreo son la teoría de marcos y la teoría de wavelets. Ambas teorías se desarrollan en el contexto del análisis armónico de los últimos 20 años. Nuestro grupo trabaja principalmente en la Teoría de Wavelets, la geometría fractal y las aplicaciones que se derivan de estos problemas.

—¿Qué aplicaciones surgen de sus trabajos?

—Hay muchas aplicaciones muy interesantes. Supongamos que tenemos una grabación de una ópera cantada por Carusso a principios de siglo XX. Estas grabaciones están contaminadas por ruidos que no pertenecen al registro original. Entonces uno puede proponerse recuperar la voz de Carusso, nada más que su voz, y limpiarla de otros sonidos o ruidos que no me interesen. Ahí tenemos un problema de muestreo y de eliminación de ruido en una variable, el tiempo. Este es un problema unidimensional.

Pero vayamos un poco más allá, ¿Qué pasa si dejamos el problema de una señal sonora y pasamos a la imagen? Nosotros estamos acostumbrados a ver imágenes por Internet que son archivos jpg, pero para obtener éstos archivos uno envía una colección de datos de la imagen que un programa sabe cómo interpretar recuperando la función y en este caso, la función que se busca recuperar tiene su dominio en dos dimensiones.

Pero sistemas como el jpg nos dan una solución que puede resultarnos satisfactoria para el uso que le damos nosotros a Internet, pero si se está usando la red en aplicaciones médicas, por ejemplo, se requiere una imagen de mucho mayor calidad.

—Y tiempos de procesamiento breves.

—Exactamente, si se dan muchos más datos para obtener una imagen más fiel, el tiempo de procesamiento puede tornarlo inútil desde el punto de vista de las aplicaciones, es necesario métodos que brinden mayor calidad en tiempos breves. Hoy existen algunos métodos que aportan soluciones para casos especiales, pero todavía falta una teoría y unos métodos generales y eso es lo que perseguimos nosotros.

En términos más matemáticos, si tenemos un espacio de funciones, lo que se trata es de expresar a esas funciones mediante cierto tipo de funciones, wavelets, que de hecho constituyen sistemas de generadores, bases de esos espacios funcionales. De esto se trata nuestro trabajo.

—Todo lo que me cuenta suena muy propio del Análisis, pero Ud. se formó junto al geómetra Luis Santaló. ¿Abandonó la geometría o aquí hay geometría oculta?

—Si yo me defino, diría que soy analista, pero en todos los problemas sobre los cuales trabajo veo geometría. Efectivamente mi doctorado con Santaló fue en geometría integral, pero ya ahí el tema específico fue la construcción de una medida invariante. Siempre estuve cerca de aplicaciones que estudiábamos desde el punto de vista geométrico y cuando trabajamos con wavelets multidimensionales inmediatamente aparecen los fractales y la teoría geométrica de la medida.

—Entonces más que una ruptura hay un proceso de continuidad entre la geometría y los problemas actuales.

—Completamente. Es cierto que hubo un trance, pero siempre sigo trabajando desde un punto de vista geométrico.

—¿Cómo se dio ese trance?

—La cosa fue así: hace muchos años yo fui a trabajar a los Estados Unidos con un geómetra, D. Chakerian, que trabajaba en la línea de Santaló y se acercó al grupo un investigador del departamento de Ingeniería Eléctrica de la universidad, A. Jain. Este ingeniero estaba interesado en temas específicos de la geometría integral, en la transformada de Radón, y de esa interacción con el grupo yo tomé contacto por primera vez con los fractales. Cuando volví a Buenos Aires Santaló estaba preparando un curso de fractales que fue el primero en su tipo que se dio en Argentina.

—Santaló intuyó la importancia del tema.

—El ya tenía más de ochenta años y sin embargo intuyó que el tema era importante, que había que estudiarlo y prestarle atención.

Santaló

—¿Qué la llevó a buscar a Santaló como director de tesis?

—Cuando cursaba la licenciatura me divertía el álgebra y la geometría, pero el álgebra me resultaba demasiado abstracta por eso decidí hacer algo en geometría. En ese momento estaban en geometría Ricardo Noriega y Santaló y cuando llegó la hora de hacer la tesis le propuse a Noriega que me dirigiera pero él me dijo "por qué no probás con Santaló" y entonces lo fui a ver.

—¿Pero tenía una cabal idea de quién era Santaló?

—Realmente no era consciente de la magnitud de la figura de Santaló. Entre los alumnos se repetía sin mayor cuidado las críticas que algunos profesores le hacían a Santaló. Se lo descalificaba desde posiciones bourbaquistas diciendo que no era muy formal, que le faltaba rigor. Pero Ricardo Noriega sí sabia quien era Santaló.

—¿Qué nos puede decir de esa etapa de formación junto a Santaló?

—Yo tuve muchísima suerte. Santaló había dirigido a tesistas en trabajos de geometría diferencial, entre ellos a Noriega, y luego se había retirado. Según me contaron, cuando yo lo fui a ver para que dirigiera mi tesis de licenciatura coincidió con el final de esa pausa que Santaló se había autoimpuesto y comenzó a dirigir una nueva serie de tesis orientadas hacia la geometría integral. Todo me resultó muy fácil porque él me hizo cursar materias que seguramente habría estado preparando, y después me dio un problema que él sabía que yo podía resolver.

—Suena todo muy fácil, pero me imagino que tendría un fuerte grado de exigencia.

—¡Ah! ¡En algunos sentidos era terrible! Santaló decía que una tesis no podía ser un conjunto de papers, que las tesis debían exponer muy claramente lo que uno había hecho. Entonces mis borradores volvían llenos de comentarios en rojo. Él tenía una formación muy amplia, muy humanista, y quería que las cosas estuvieran bien escritas, sin el formalismo de Bourbaqui, pero bien expuestas.

Esa concepción tan amplia que tenía de la formación de un matemático se refleja en esta anécdota: cuando yo terminé él me dijo: "Muy bien, Ud. ha demostrado que sabe matemática y que sabe investigar, ahora le falta aprender a enseñar" y en lugar de hacer un postdoc me tuvo más de un año dando clases.