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ZAPPING 0296, 27-Jul-2006
Universidad de Springfield
por Marcelo Dos Santos (www.mcds.com.ar)

Los medios de comunicación son como la ciencia: bien usados pueden rendir resultados asombrosos, pero si se los utiliza mal pueden llevar a estados catastróficos (le leo el pensamiento: "Sí, como el mundo actual...). Puede ser. Pero cuando los medios están en manos de gente inteligente y motivada, hasta las más puras muestras de humor pueden alcanzar profundidades interesantísimas y dar frutos muy deseables, como por ejemplo lograr que un porcentaje de la gente (aunque sea pequeño) se ponga a pensar...


Es el caso de la serie de animación "Los Simpson". Y acá va un increíble ejemplo.

¿Se acuerda del capítulo en el cual Homero cae en la Tercera Dimensión? Es el episodio correspondiente al Halloween de 1995. Además de ser una fina burla a los estudios de animación 3D (Pixar, por ejemplo) y a sus productos, tiene algún detalle impresionante.

Homero camina por el mundo animado en 3D, mientras los objetos geométricos, fórmulas y ecuaciones se desplazan por el aire a su alrededor. Una de estas ecuaciones dice concretamente:

178212 + 184112 = 192212

Dicho así, puede parecer que los numeritos no significan nada. Sin embargo, en un foro de discusión dedicado a la serie, un televidente expresó: "¡Acaba de demostrar la falsedad del Teorema de Fernat!".

Nada menos.


Homero y una ¿excepción? al Teorema de Fermat

El abogado francés Pierre de Fermat fue, además, un notable matemático. De hecho, la moderna teoría de los números le corresponde exclusivamente a él, entre otros trascendentales logros matemáticos.

El hecho es que en 1637, Fermat compró una copia de la célebre "Aritmética" de Diofanto de Alejandría, traducida por el francés Bachet. El griego expresaba, con otras palabras, lo que hoy conocemos como "Último Teorema de Fermat", que va más o menos así:

Cuando n es un entero mayor que 2, no existen
enteros x, y y z distintos de cero tales que xn + yn = zn

Como siempre ocurre en matemática, saberlo o intuirlo es una cosa, pero probarlo es otra muy distinta. En tiempos de Fermat todos los matemáticos estaban de acuerdo con que la afirmación de Diofanto era correcta, salvo por el "pequeño detalle" de que nadie había conseguido elaborar una demostración general que probara que tales números no existen ni pueden existir. En otras palabras, no se había demostrado este "último teorema de Fermat".

Pero, sin embargo, al margen del libro de Diofanto se encuentra una anotación de puño y letra de Fermat que dice textualmente:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere

Lo cual, en buen cristiano, se traduce así:

"Es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o, en general, cualquier potencia mayor que la segunda en dos potencias iguales a ella."


Fermat, generador del embrollo

Como se ve, Fermat coincide con los demás en que el teorema propuesto por Diofanto no tiene solución... en apariencia. Porque a continuación, Fermat escribe:

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

O sea:

"Pero he descubierto una maravillosa demostración para este problema. Lamentablemente, el margen es tan pequeño que no me permite escribirla aquí."

Y acá vino el problema. Fermat, entonces, estaba de acuerdo con todos los demás matemáticos, pero había encontrado una solución general. ¿De verdad? Es cierto que lo exiguo del margen no dejaba espacio para escribirla, pero, como el lector adivinará, en ninguna otra parte, en ninguno de los papeles de Fermat, en ninguno de sus libros se encuentra la tal, hipotética solución.

Y comenzó la carrera. Piénsese que estamos hablando de un problema que se conoce desde la más remota antigüedad, acerca del cual uno de los mayores matemáticos de la historia afirma en 1637 haber encontrado la solución. Todos quisieron encontrarla. Todos quisieron hacer lo mismo que Fermat.

Y por más de 350 años nadie lo consiguió.


Todos los demás teoremas propuestos por Fermat fueron demostrados, algunos por pruebas suministradas por el francés mismo, otros por pruebas desarrolladas más tarde, y algunos mediante contrapruebas que demostraban que el teorema propuesto era falso. Excepto este.

Se lo llama "Último de Fermat" no porque fuese el último que propuso, sino porque era el último que quedaba por demostrar. Y, por añadidura, se trata del problema matemático que mayor cantidad de pruebas erróneas ha generado, porque, como el postulado básico es tan simple y fácil de comprender, cualquiera se ha sentido capaz de probarlo o descartarlo a lo largo de la historia.

El asunto es interesantísimo porque, además, el Último de Fermat es uno de los pocos teoremas que no tienen utilidad conocida, esto es, que no sirven para ayudar a demostrar ningún otro teorema. Sin embargo, ha disparado tanta investigación en los fallidos intentos por probarlo, que ha ayudado a resolver otros profundos problemas matemáticos que no están en absoluto relacionados con él. En otras palabras, de algo ha servido.


Que no existiera una solución general no quiere decir que el teorema no pudiera probarse falso para casos particulares. Algunas de estas demostraciones tienen milenios, y son correctas. Para n=2, por ejemplo, el caso es muy claro. En homenaje a Diofanto, la ecuación que lo expresa se llama "Ecuación Diofántica":

a2 + b2 = c2

y está obviamente relacionada con el Teorema de Pitágoras. Ya los antiguos chinos, griegos, indios y babilonios habían demostrado esta certeza cuando la potencia en cuestión es 2. En la Antigüedad se demostró que ciertos casos como

32 + 42 = 52

o

52 + 122 = 132

eran muy fáciles de individualizar y probar. Pero insistimos: esto no es tan fácil cuando hablamos de un exponente mayor que 2.

Y así comenzaron a pasar los siglos, con lentos avances: Euler encontró la prueba para n=3, y, aunque su método contenía un grave error, fue la base para gran parte de la investigación posterior. El mismo Fermat descubrió la solución para cuando n=4. Dirichlet y Legendre lo resolvieron para n=5 utilizando una mejora al método de Euler.

Lamé encontró la solución para el siguiente primo (n=7) en 1839, pero su demostración era larga y trabajosa y no podía adaptarse ni generalizarse a los números mayores. Ocho años más tarde, Kummer probó que el teorema era verdadero para todos los primos regulares inferiores a 100, lo cual significa excepto 37, 59 y 67. No era poco, pero el esfuerzo de todos estos científicos no había logrado probar ni de lejos el caso general que proponía Fermat.

Hubo que esperar hasta 1995 para que el matemático inglés Andrew Wiles consiguiera, utilizando herramientas avanzadas de geometría algebraica, demostrarlo por fin para todos los exponentes superiores a 2. La solución de Wiles fue publicada en la revista "Anales de Matemática" y probó ser totalmente correcta e inatacable.

El Último Teorema de Fermat era correcto.

Con respecto al fallecido Pierre de Fermat...: ¿sería cierta su afirmación de que tenía una "maravillosa demostración" en 1637?

Piénsese solamente en esto: la demostración de Wiles ocupa unas 200 páginas mecanografiadas, y utiliza curvas elípticas, esquemas de grupos, el Álgebra de Hecks, la Teoría de Iwasawa, la Teoría de Von Neumann-Bernays-Gödel, la de Zermelo-Fraenkel y decenas de otras complejas herramientas matemáticas, todas desarrolladas muy recientemente (hablando en términos históricos).

Es bien cierto que los métodos utilizados por Wiles no existían cuando Fermat escribió su famosa nota al margen del libro, pero también es verdad que podría existir una demostración más corta, sencilla y que solamente echase mano de procedimientos conocidos en el siglo XVII. Podría existir, pero nadie la ha encontrado escrita ni publicada en ninguna parte.

También es posible que Fermat tuviera una solución errónea, pero que él de buena fe haya creído cierta.

Puede, podría, tal vez...

La realidad es que, hasta donde sabemos, ni Fermat ni nadie pudo probar la verdad de su Último Teorema, hasta el feliz día de 1995 en que Wiles hizo pública su complicada demostración. El Teorema de Fermat es cierto, y ya sabemos cómo y por qué.


Lo cual nos lleva de nuevo al episodio de "Los Simpson" puesto al aire poco después de la publicación del sabio inglés. Si la demostración prueba que existen tres números que elevados a la 12 producen

178212 + 184112 = 192212

como se ve en el episodio, entonces el postulado de Fermat y la demostración de Wiles son incorrectos, al menos en el sentido de que no son generales, sino que existe la "Excepción de Simpson" (si es que podemos llamarla así).

¿Pueden Matt Groening y los guionistas y productores de un dibujo animado haber encontrado una excepción que invalide el postulado de Fermat y la demostración de Wiles? ¿Existe entonces la igualdad de arriba, que prueba que el Último Teorema es falso? Suspenso...


La respuesta, previsiblemente, es no (Homero hubiese exclamado: "¡D´oh!"). Si uno observa la ecuación con cuidado, verá que, si prescindimos de los exponentes, dice textualmente:

1782 + 1841 = 1922

Ya empezamos con los problemas: si todos los términos están elevados a una misma potencia (en este caso a la 1), la ecuación es errónea, porque la suma de un número par y uno impar siempre da como resultado un número impar. No es el caso de 1922, que es par y, por lo tanto, una imposibilidad matemática.

Pero...

Si uno ingresa en una calculadora científica 1782, lo eleva a la 12ª potencia, y lo suma a 1841 elevado también a la duodécima potencia, verá que el resultado es... ¡1922 elevado a la duodécima potencia!

¿Cómo es? ¿Qué está pasando? ¿Por qué la calculadora nos da un error?


Analicemos fríamente este problema. Hagamos las cuentas.

El término de la izquierda, una vez resueltas las dos potencias y sumado todo, da exactamente

2.541.210.258.614.589.176.288.669.958.142.428.526.657

Si despejamos el de la derecha, o sea, elevamos 1922 a la 12ª potencia, tendremos

2.541.210.259.314.801.410.819.278.649.643.651.567.616

, lo cual no es en absoluto lo mismo. La igualdad no es tal y el Último Teorema es cierto, por más que todas las calculadoras del mundo intenten convencernos de los contrario.

La solución es que las calculadoras se embrollan con el redondeo de los exponentes, y aproximan de la manera que a ellas les parece. La verdadera "Ecuación de Simpson" (nótese que ya no escribimos "Excepción") es algo parecido a esto:

178212 + 184112 = 192212,algo

Así nomás. Sin atenuantes. 178212 + 184112 no da exactamente 192212, sino "a la 12 y un poquito".


Para terminar, un punto a favor para el innegable perfeccionismo de los guionistas de "Los Simpson", inteligentes y trabajadores a un grado extremo.

Cuando alguien les hizo notar que la suma de un par y un impar nunca puede dar un número par, hicieron que, en la apertura del episodio siguiente, Bart escribiera, interminablemente, la siguiente ecuación:

398712 + 436512 = 447212

Para los que dicen que la televisión yanqui es idiota...

MÁS DATOS:

The Springfield Theory

(Traducido, adaptado y ampliado por Marcelo Dos Santos de SciAm y de otros sitios de Internet.)


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