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DIVULGACIÓN: Issac Newton y los célebres problemas de Bernoulli

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La garra del león
por Marcelo Dos Santos (especial para Axxón)
http://www.marcelodossantos.com.ar

El niño ingeniero

Corría el año de 1649. La abuela observaba, fascinada, los intentos de su nieto de cinco años para cazar un ratón en el jardín. El niño acechaba al roedor en la entrada de la madriguera, le ofrecía semillas como cebo, esperaba con paciencia de depredador.

Como el león ante la cierva, el pequeño, por fin, logró su objetivo: el ratoncito quedó prisionero entre unos trapos viejos. La abuela no preguntó qué era lo que el nene pensaba hacer con él.

Al día siguiente, el jovencito inglés presentó a sus mayores el último invento de su creación: un mínimo molino a escala, con su noria, su muela y sus engranajes, diseñado y construido con sus propias y pequeñas manos. El ratón capturado el día anterior aplicaba su fuerza motriz, como un microscópico asno. Un molino perfecto y funcional, movido por la tracción de un ratón... Recordemos que el pequeño ingeniero tenía sólo cinco años...

El niño creció. Su vida fue increíble, y su intelecto, posiblemente el más grande de la historia de la Humanidad.


Newton en la época de la manzana

Isaac Asimov dijo de él: "A veces me preguntan cuál fue el científico más importante de la historia. Si me preguntan cuál fue el segundo más importante, me veo en problemas, porque tengo que decidir entre Albert Einstein, que desarrolló la Teoría de la Relatividad, Watson y Crick, que comprendieron la estructura del ADN, Darwin, que descubrió la evolución... Pero cuando me preguntan por el más importante, la respuesta es muy simple: Isaac Newton. Newton descubrió la gravedad, inventando de un plumazo la mecánica celeste y explicando los causas aún desconocidas de muchos fenómenos de la astronomía y la física. Newton inventó el cálculo integral, creando así las matemáticas avanzadas. Newton creó y perfeccionó el cálculo infinitesimal. Newton descubrió la propagación de las ondas, dando origen a la acústica. Newton fundó la óptica, descubriendo la descomposición de la luz. Newton inventó el telescopio reflector. Newton inventó el sextante. Newton es el fundador de la ciencia moderna. Sin él, el mundo que conocemos no hubiese existido nunca".

El historiador de la ciencia Adolfo Rivero Caro escribió: "Los descubrimientos de Newton fueron tantos y tan importantes, que la ciencia necesitó más de cincuenta años para asimilarlos completamente". También dice que Newton fue el ser humano más importante del milenio que acaba de concluir.

Pero este artículo no pretende ser una biografía del gran Isaac Newton, de las cuales hay ya muchas y muy buenas.

Vamos a revivir, simplemente, la increíble anécdota de los dos célebres problemas de Bernoulli, para subrayar el monstruoso, brillante, inconcebible nivel de genialidad que vivía en el cráneo del pequeño niño que, a los cinco años, diseñó y construyó su molino a ratón.

 

La familia Bernoulli: los "Bach" de las matemáticas

La familia Bernoulli fue a las ciencias lo que la familia Bach a la música.

En efecto: en sólo tres generaciones produjo ocho matemáticos brillantes, de los cuales tres fueron extraordinarios. Veamos algunos de los logros de estos tres:


Jacob Bernoulli

Jacob Bernoulli (1645-1705) se autoenseñó el cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz (algo que cuesta creer posible) y fue profesor de matemáticas en la Universidad de Basilea desde 1687 hasta su muerte. La cátedra de matemáticas de Basilea, a partir de Jacob, fue ocupada ininterrumpidamente por un Bernoulli u otro durante los siguientes 100 años. Ya que estamos a ello, diré que, hasta mediados del siglo XX (es decir, por más de 250 años) siempre hubo un titular de cátedra apellidado Bernoulli en la Universidad de Basilea.

Estudió al detalle las series infinitas y las curvas especiales y diseñó la serie llamada "Números de Bernoulli" que definen las potencias de la función tan(x). Formuló el principio básico de la teoría de las probabilidades (lo que hoy conocemos como "Teorema de Bernoulli"), que puede enunciarse de la siguiente manera: "Si la probabilidad de un evento es p y si se han hecho n intentos independientes con k cifra de éxitos, entonces k/p tiende a p cuando n tiende a ". Este enunciado, que a primera vista parece trivial y obvio, entraña, ocultos, una enorme cantidad de complejos problemas filosóficos y matemáticos que han tenido ocupados a los científicos desde la época de Newton hasta hoy.

Jacob Bernoulli inventó el término "integral" en 1690.

Estudió las catenarias cuando nadie lo hacía. Desarrolló el estudio de las coordenadas polares cuando casi nadie sabía siquiera lo que era una coordenada polar.

Entre las curvas especiales que fueron su pasión, hay una que lleva su nombre: la Lemniscata de Bernoulli:

r2 = a.cos 2j


Epitafio con errata

La lemniscata fascinó a Bernoulli por sus sorprendentes propiedades: partiendo de la base de que la lemniscata es una espiral logarítmica, Jacob descubrió que la evoluta de la misma es otra espiral logarítmica. Su curva pedal con respecto a su polo es otra espiral logarítmica. La caústica de reflexión para los rayos que parten de su polo es otra espiral logarítmica. Su cáustica para los rayos que parten de su polo, pero esta vez de refracción, es otra espiral logarítmica. Tanto se maravilló con ella que quiso hacer grabar una lemniscata sobre su propia tumba, con la inscripción siguiente: Eadem mutata resurgo ("Cuando me cambian, resurjo siendo la misma").

Lamentablemente, el escultor que hizo la lápida no era geómetra: como se ve en la foto, la curva que grabó en el sepulcro no es una Lemniscata de Bernoulli sino una Espiral de Arquímedes... En fin...


Johann Bernoulli

Johann Bernoulli, hermano menor de Jacob, fue médico al principio, doctorado en Basilea, y estudioso del mecanismo de la contracción muscular. Más tarde se dedicó a las ecuaciones diferenciales, la mecánica y la geometría. Al morir su hermano, Johann heredó su cátedra de matemática y física, puesto en el que estuvo 42 años. Fue amigo de Huygens y profesor de matemática en Groninga. Por motivos de dinero, Johann Bernoulli vendió, durante toda su vida, sus trabajos matemáticos al Marqués de L'Hôpital y éste los publicaba como propios. Así, sabemos hoy que, por ejemplo, la famosa "Regla de L'Hôpital" para dividir un polinomio es obra de Johann.

El epitafio que Johann mandó escribir sobre su tumba define, al mismo tiempo, su talento matemático como su inconcebiblemente grande ego:  "Aquí yace el Arquímedes de su tiempo".


Daniel Bernoulli

Daniel Bernoulli, hijo del anterior (1700-1772) fue también médico, y descubrió los mecanismos íntimos de la función pulmonar. Más tarde se hizo profesor de matemáticas en la Universidad de San Petersburgo.

Ya en la Universidad de Basilea, fue titular de las cátedras de Botánica, Anatomía, Física, Probabilística, Cálculo y Ecuaciones Diferenciales.

Analizó la mecánica de los fluidos y escribió el primer tratado sobre cinética de los gases. Fue el primer fisicomatemático del mundo. También enunció su célebre "Teorema de Bernoulli" (no confundir con el del tío): "A lo largo de un tubo de flujo, la suma de la energía cinética, de la energía potencial y de la energía de presión es constante":

P + r g h + r v2 / 2 = k

Daniel fue un genio no sólo en matemáticas puras sino también en aplicadas. Su libro "Hidrodinámica" es un clásico intemporal desde el mismo día de su publicación, así como sus contribuciones en hidromecánica y elasticidad. Fue también un gran físico, y ganó diez premios de la Academia de Ciencias de París.

Crímenes y pecados

Las relaciones entre los tres Bernoulli más célebres eran, para decirlo de un modo elegante, pésimas. Jacob y Johann no dudaban en insultarse o tomarse a golpes de puño en público por cuestiones de quién había precedido a quién en una demostración o descubrimiento.


Otro retrato del belicoso Johann

Las disputas entre Jacob y Johann eran tan asquerosas, que ninguna revista científica quería publicarlas. Todo comenzó porque Johann adoraba hacer ostentación de sus capacidades matemáticas. Jacob respondió publicando en una revista que él había sido el maestro de su hermano, y que Johann sólo sabía lo que él le había enseñado.

Tampoco Daniel se vio libre de desgracias: los celos eran tan feroces y desmedidos en la familia Bernoulli, que su padre Johann no dudó en echar de su casa para siempre a Daniel (apenas un adolescente en ese entonces) por haber ganado un premio de la Academia Francesa de Ciencias que Johann aspiraba a obtener él mismo. El muchacho cayó entonces en lo hoy llamaríamos "depresión crónica", de la que no llegó a recuperarse nunca. La Academia de París, habiendo comprobado que padre e hijo habían demostrado lo mismo por métodos independientes y apenada por el incidente, rectificó su decisión y les otorgó el premio a ambos.

Cuando Daniel publicó su obra más importante, "Hidrodinámica", su padre Johann publicó otro libro titulado "Hidráulica", y llevó a su hijo a los tribunales, acusándolo de plagio.

Yo creo que todo comenzó a causa del complejo de inferioridad de Jacob: él pensaba que su hermano era mucho mejor científico que él. Hoy se estima que, si bien Johann era más rápido para producir soluciones matemáticas a los problemas, Jacob era más lento pero más profundo, y sus trabajos tenían implicaciones filosóficas más trascendentes.

Jacob y Johann se odiaban tanto, pero tanto, que el primero estableció en su testamento que sus manuscritos matemáticos debían ser entregados a su sobrino Nicolás II (hijo de Johann), con la única condición de que Johann no pudiese leerlos ni consultarlos.

Algunos de los demás Bernoulli, si bien no tan importantes como Jacob, Johann y Daniel, merecen también ser reseñados aquí:

Nicolás, sobrino de Johann y Jacob, estudió las leyes de probabilidad. Uno de los más célebres problemas que resolvió (por vía matemática) es cuándo la ley puede dar por muerto a un desaparecido. El razonamiento de Nicolás es bien distinto del de ciertas legislaciones del mundo, que estipulan un número arbitrario de años desde la desaparición del sujeto hasta el momento en que se lo declara "técnicamente" o legalmente muerto.

La Regla de Nicolás Bernoulli dice que una persona debe considerarse muerta "cuando la probabilidad de que esté muerta sea el doble de la probabilidad de que esté viva, y no antes". ¿Cómo se determina ese momento? Muy simple: cuando, de las personas que tenían la misma edad que el desaparecido, el número de muertos sea el doble de los que están vivos.

Nicolás II: hijo primogénito de Johann y su favorito, ya que su padre, como hemos visto, odiaba a su otro hermano, Daniel. Nicolás II fue el profesor de matemáticas de Daniel. Fue profesor en Venecia y San Petersburgo. En cierta época, en esta última Universidad enseñaban simultáneamente él y Daniel.

Jacob II: Profesor en San Petersburgo, tiene la particularidad de haber muerto ahogado en el río Neva. En su tiempo se dijo que había sido un accidente, aunque hoy se piensa que Jacob II se suicidó.

La Royal Society

En 1660, un grupo de científicos fundaron, en el Gresham College de Londres, la Royal Society (Real Sociedad de Ciencias). La Royal Society nació como un vehículo de comunicación entre científicos y un ámbito de realizaciones experimentales. Sus miembros se reunían una vez por semana.

Cinco años después, la Royal comienza a publicar su revista, Philosophical Transactions, que es, nada menos, la más antigua revista científica de la historia.

En 1671, Newton es invitado a unirse a la Royal Society. Lo presenta el obispo de Salisbury, astrónomo, y las palabras que éste pronuncia pueden parecer muy pequeñas: ¡al fin y al cabo estaba hablando de Newton! Lo que sucede es que Newton no había publicado aún ninguno de sus descubrimientos, lo que lo convertía en un perfecto desconocido en el mundo de la ciencia.

Newton siempre fue reacio a publicar sus trabajos. A su personalidad se suma un infausto acontecimiento ocurrido en 1693.

El padre de la teoría gravitatoria decidió, cierto día, ir a la iglesia. Salió de su estudio, dejando por descuido una vela encendida sobre la mesa. Sucedió que, en ausencia de Newton, su perro Diamante se subió a la mesa y tiró la vela. El incendio subsiguiente destruyó la mayor parte del estudio de Newton, sus aparatos y la mayoría de sus apuntes y manuscritos. Al regresar y observar el desastre producido, Newton amonestó dulcemente al ignorante can: "¡Ah...! ¡Diamante, Diamante, nunca vas a darte cuenta verdaderamente del mal que has hecho...!".

M. Biot, basándose en una carta de Huygens que se conserva entre los papeles de la biblioteca de Leyden, afirma que la pérdida de su trabajo produjo una impresión tan grande en el sabio, que cayó en un estado de crisis nerviosa o locura. Comenzó a padecer tremendos insomnios que lo tenían semanas enteras sin dormir, y un continuo estado de irritación. Además, perdió su enorme inteligencia y sus portentosas capacidades mentales se oscurecieron para dejarlo convertido, casi, en un idiota.

Lo ocurrido en el incendio de 1693 me lleva a preguntarme: si la teoría gravitacional, el telescopio reflector, las tres leyes que gobiernan la inercia (las célebres "Leyes de Newton"), el cálculo diferencial, la espectrografía, la naturaleza ondulante del sonido y la luz, el cálculo infinitesimal, etc., provienen sólo de los papeles de Newton que se salvaron del fuego, que solamente representaban una ínfima parte de sus descubrimientos... ¿Cómo sería nuestro mundo, hasta qué punto habría llegado la ciencia si la mayor parte de ellos, que fueron destruidos, también hubiesen llegado hasta nosotros?

Newton continuó durante años su trabajo con la Royal Society, hasta ser elevado a su Consejo Directivo en 1704.

La estadía de Newton en la Sociedad nos interesa, porque los dos problemas de Bernoulli de los que trata este artículo le fueron presentados en ella.

El genio de Newton

Para dar una idea del nivel de genialidad del hombre de quien estoy hablando, voy a contar dos breves anécdotas antes de pasar a los problemas de Bernoulli.

En cierta ocasión, le presentaron a Newton el "Problema de Pappo": encontrar el lugar geométrico en que se debe ubicar un punto tal que el rectángulo comprendido entre sus dos distancias a dos líneas rectas esté en una proporción dada al rectángulo comprendido por las distancias a otras dos líneas también dadas.

Los grandes geómetras antiguos, entre ellos Apolonio de Pérgamo, habían intentado sin éxito —desde el siglo III a.C.— hallar una solución a este desconcertante problema, y no podían porque es insoluble por métodos geométricos.

Cuando le preguntaron a Newton si se le ocurría una solución, respondió al instante: "Ese lugar es una cónica". Ante el general asombro, tomó una tiza y escribió en un pizarrón una demostración matemática directa, elegante, general e inatacable de lo que acababa de afirmar.

Años después, en 1716, algunos matemáticos desafiaron a Newton para que obtuviera la trayectoria ortogonal de una familia de curvas anidadas, como las que describe la Luna al girar a la vez en torno a la Tierra y, con ella, alrededor del Sol.

Más que un problema era como una burla, porque los matemáticos habían buscado durante décadas la solución infructuosamente, y se pensaba que resolver tal problema era imposible.

Pero no contaban con el genio del hombre que, cuando niño, había diseñado y construido el molino con tracción a ratón.

Newton —quien hacía años que no efectuaba ningún cálculo— sonrió, tomó papel y lápiz, invitó a sus desafiantes a sentarse, y dijo: "Voy a tardar cinco horas".

Comenzó a escribir fórmulas, ante la mirada atónita de los circunstantes. Escribió y escribió, y, cuando las cinco horas se hubieron cumplido, les mostró la curva ortogonal ya resuelta.

No sólo había solucionado el problema, sino que, de paso, había inventado los principios que hoy usamos para la determinación de las trayectorias.

Ex ungue leonis

En 1696, Johann Bernoulli planteó ante los matemáticos de la Royal Society dos abtrusos problemas matemáticos. Más que de un pedido de colaboración entre científicos, se trató de una especie de concurso: Johann ofreció como premio, a quien fuese capaz de dar las soluciones de ambos, un libro científico de su biblioteca personal. Bernoulli sabía que muchos de los miembros de la Sociedad ambicionaban el ejemplar, que a la sazón era carísimo: costaba nada más ni nada menos que cuatro chelines, toda una fortuna para la época. Aunque la mayor parte de los miembros de la Royal Society eran genios absolutos, su excelencia científica no los había hecho ricos, y ninguno de ellos disponía de peculio suficiente para comprarlo, ni siquiera los que ostentaban títulos de Sir o Lord.

Bernoulli sabía que, con el aliciente del libro, todos pondrían manos a la obra con ahínco y tenacidad. Estableció un plazo máximo de seis meses para presentar las soluciones, y se puso a esperar.

Entre los participantes del certamen se encontraban: Robert Hooke, matemático y descubridor de la célula; Sir Edmond Halley, físico, matemático y astrónomo, descubridor de la periodicidad de los cometas, que encontró estudiando al que hoy lleva su nombre; Gottfried Leibniz, coinventor, junto con Newton, del cálculo infinitesimal (lo desarrollaron independientemente y sin colaborar entre sí: la diferencia estuvo en que Leibniz lo publicó de inmediato y Newton no lo hizo hasta mucho después), Sir Christopher Wren, Christiaan Huygens y otras figuras de similar talento. Por causas no muy bien establecidas, Newton no estaba presente en el lanzamiento del desafío y no se enteró del concurso en ese momento.

Bernoulli esperó y esperó... Esperó y esperó.

Esperó.

Los seis meses transcurrieron, y sólo Leibniz había encontrado la solución a uno de los dos problemas. Como las bases decían que el ganador debía resolver ambos, Bernoulli extendió el plazo por seis meses más, en la esperanza de que alguien consiguiera la solución al segundo.

El año transcurrió, y nadie pudo mejorar la solución de Leibniz al primer problema y mucho menos resolver el segundo.

Molesto por su fracaso, Leibniz sugirió a Bernoulli que se solicitara el auxilio de Newton. Johann comisionó entonces a Halley —muy amigo de Newton— para que le entregara los dos problemas.

El 29 de enero de 1697 Halley visitó a Newton. Recuerda con asombro la entrevista con Newton, su distracción extrema y su falta de concentración en estos términos: "Llegué a su casa a las dos de la tarde. Él estaba encerrado en su estudio, y la servidumbre tenía estrictas órdenes de no molestarlo ni abrir la puerta por ningún motivo. Por lo tanto, me senté afuera a esperar que saliera. Rato después, el ama de llaves trajo el almuerzo de Newton en una bandeja, y lo dejó en el piso, frente a la puerta. Las horas pasaron. A las seis de la tarde, yo sentía un hambre atroz, y me atreví a devorar el pollo de la bandeja. Cuando Newton por fin abrió la puerta, miró los huesos del pollo en la bandeja, me miró a mí y exclamó: —¡Qué distraído soy! ¡Pensé que no había comido!".

Halley explicó a Newton la situación y le entregó la carta de Bernoulli conteniendo los dos problemas. Newton dejó la carta sobre un escritorio y despidió rápidamente a Halley, explicando que "luego echaría una ojeada a los problemas".

Los dos problemas que habían tenido ocupados a todos los miembros de la Royal Society durante más de un año, en los cuales habían fracasado matemáticos del calibre de L´Hôpital, David Gregory y Varignon, los dos problemas de los cuales Leibniz sólo había encontrado una tortuosa solución para uno de ellos, fueron resueltos por Newton en diez horas.

A las cuatro de la mañana del día siguiente los tenía listos, y a las ocho envió sus soluciones en una carta sin firma al presidente de la Royal Society. Sus desarrollos eran tan perfectos y elegantes, que las soluciones de Newton fueron publicadas —también en forma anónima— en el número de febrero de 1697 de Philosophical Transactions. Newton había resuelto en una noche dos problemas que a cualquier otro matemático le hubiesen llevado la vida entera.

Bernoulli, impresionado por la elegancia de las soluciones de Newton, no tuvo dificultad en identificar al autor: "Es Newton", afirmó. "¿Cómo lo sabe?", le preguntaron. "Porque reconozco las garras del león (Ex ungue leonis)".

Hay quien dice que tanto Johann como su hermano Jacob Bernoulli consiguieron resolver el primero de los dos problemas, de modo que sólo Newton, Leibniz y los dos Bernoulli encontraron una solución. No me sorprende, porque está demostrado que ellos eran las cuatro únicas personas que podían manejar, en la década de 1690, las complejidades y sutilezas del cálculo integral y diferencial, imprescindibles para la solución del primer problema.

La solución de Leibniz era muy trabajosa. La de Johann Bernoulli era bastante elegante pero muy particular. La de su hermano mayor Jacob era ripiosa y avanzaba con dificultad, muy elaborada y aburridísima, pero más general que la de Johann.

Creo que, a esta altura, huelga decir que la de Newton es la mejor, incluso hoy en día. Breve, simple, elegante, entretenida y general, nadie ha podido superarla.

El segundo problema, por su parte, derrotó a todos, salvo, por supuesto, a las garras del león.

Los dos problemas de Bernoulli

Los dos problemas que Bernoulli propuso a la Royal Society lo habían preocupado durante años.

Ambos tienen la particularidad de que se enuncian fácilmente, pero esta aparente simpleza oculta complejidades tan tremendas, que sólo la sobrehumana clarividencia de Newton pudo desentrañar en pocas horas.

Primer problema: "Determine la braquistócrona".

Segundo problema: "Encuentre una curva tal que si se traza una línea desde un punto dado O, que corte a la curva en P y en Q, entonces OP´ + OQ´ sea una constante".

Newton no sólo encontró la mejor solución para el primero, sino que resolvió el segundo y encontró para éste una solución general.

La Helena de los geómetras

Hagamos rodar un círculo sobre una superficie plana y observemos la trayectoria que describe un punto cualquiera del mismo.

En otras palabras, si marcamos el punto más bajo de un círculo que descansa sobre una línea horizontal, y movemos el círculo, haciéndolo rodar (sin fricción ni rozamiento), el punto marcado en el círculo se desplazará hacia arriba, alcanzará una altura máxima —igual al diámetro del círculo—, y comenzará a descender hasta tocar de nuevo la línea horizontal, en un lugar situado a una distancia del punto original igual a la circunferencia del círculo.

Pues bien: la curva descripta por el punto en cuestión, que se repite tanto como sigamos haciendo girar el círculo, se llama cicloide.


La maravillosa cicloide

La cicloide tiene varias particularidades, como la de describir una caída libre gravitatoria. Además, es una de las pocas curvas que funcionan de la misma manera tanto en la mecánica newtoniana como en la relatividad general, en términos de su tiempo propio de caída libre.

La cicloide es una curva tan particular, que fue estudiada por todos los matemáticos importantes, en todas las épocas. Provocó tantas querellas, guerras, peleas y reyertas entre ellos, que se la conoce como la "Helena" de los geómetras.

El primero en interesarse por ella fue Charles Bouvelles, quien la creyó un medio mecánico para lograr la cuadratura del círculo.

Más tarde, Galileo Galilei y su alumno Viviani estudiaron la cicloide, obteniendo a partir de ella un método de construcción de tangentes. Galileo se dio cuenta, además, de que la cicloide era el mejor de los perfiles posibles para construir los arcos de los puentes.

El sabio italiano escribió en 1640: "He estado queriendo describir esa línea curva durante más de cincuenta años, y la admiré por su curvatura, ideal para soportar los arcos de un puente. Hice varios intentos para demostrar que el espacio incluido entre ella y su cuerda era tres veces más grande que el círculo que describía la cicloide, pero estaba errado. No era tres veces mayor, aunque la cifra no estaba lejos de tres".

Mas Galileo se equivocaba: de hecho, la superficie del área definido por la cicloide es tres veces la del círculo generatriz. Tal extremo fue demostrado al mismo tiempo por Torricelli, Roberval y Blas Pascal. El error de Galileo se debió a que, en vez de calcular la superficie por métodos geométricos, trató de medir el área construyendo modelos de cicloides y pesando los mismos.

Mersenne hablaba con todos sus corresponsales de las extrañas propiedades de la cicloide, y, precisamente, su alumno Roberval fue uno de los que demostró la superficie del arco cicloidal.

Poco tiempo después se encontró el centro de gravedad y se descubrieron también los volúmenes de los sólidos que se obtienen rotando una cicloide alrededor de su base y de su eje.

En toda esta investigación se ocuparon los más importantes matemáticos de la época, incluyendo al gran René Descartes.

Ganando la Cátedra de Matemáticas del College Royal en 1634 gracias a sus técnicas investigativas aplicadas a la cicloide, Roberval consiguió mantener el cargo durante cuarenta años. Mas la "Helena de los geómetras" metería la cola...

El francés había llegado a su puesto mediante concurso público, que incluía una competición matemática trienal, pero el reglamento no exigía explicar los métodos utilizados. El titular de una cátedra (que era quien elegía los problemas del concurso) tenía, pues, muy buenas razones para mantener sus procedimientos ocultos, porque muy bien podían ser utilizados por otros para desbancarlo tres años más tarde.

Roberval, al no querer explicar cómo había llegado a sus conclusiones, perdió el derecho de precedencia sobre varios descubrimientos, entre ellos la superficie del arco de la cicloide, y se vio envuelto en numerosas querellas.

Uno de los que lo demandó por el asunto de nuestra Helena fue Evangelista Torricelli, quien había publicado en 1644 una explicación completa (obtenida independientemente) del área y las tangentes de la cicloide. No es sorprendente que Torricelli hubiese llegado por sí mismo a las mismas conclusiones, ya que había sido asistente de Galileo, quien posiblemente le transmitió sus conocimientos sobre el tema.

El concurso de Pascal

Un día de 1658, Blas Pascal se despertó con un horrible dolor de muelas, y comenzó a pensar en la cicloide para ver si desconcentrarse del dolor lo ayudaba en algo. Mágicamente, el dolor se fue, y, en agradecimiento, el matemático dedicó los siguientes ocho días a estudiar la cicloide en profundidad. Luego de redescubrir casi todo lo que los anteriores habían hallado con respecto a esta curva y de encontrarle unas cuantas propiedades nuevas, Pascal decidió promover un concurso que consistía en resolver algunos problemas de cicloides. Los dos mejores trabajos serían premiados, y actuarían como jurados Roberval y el mismo Pascal. Recibieron dos respuestas correctas, firmadas una por Wallis y la otra por Lalouvere, mas los jueces consideraron que no cumplían las expectativas y los premios fueron declarados desiertos.

¿Qué hizo Pascal? Publicó sus propias soluciones sobre la cicloide, además de un ensayo titulado "Historia de la Cicloide" donde tomaba partido por Roberval en su vieja disputa con Torricelli acerca de la precedencia de los descubrimientos sobre la sorprendente curva.

Sin embargo, toda esta embarazosa cuestión terminó rindiendo sus frutos: Christiaan Huygens, que estaba tratando de mejorar su diseño de relojes (su gran pasión, aparte de la matemática), se percató de que el período de oscilación del péndulo no es del todo independiente de la amplitud de su recorrido. Inspirado en el asunto de Pascal y el concurso, el holandés pensó en qué pasaría si el péndulo era obligado a seguir una trayectoria cicloidal. Previsiblemente, descubrió que ese sistema sí era perfectamente independiente de la amplitud. Huygens había descubierto que las cicloides son "tautócronas", es decir que el tiempo que una partícula tarda en recorrer la distancia desde cualquier punto de la cicloide hasta el punto más bajo de la curva es siempre el mismo, no importa si lo iniciamos en la parte más alta de la curva, en la mitad o desde un punto muy cercano a la base.

La braquistócrona

No terminó así el asunto, puesto que llegamos ahora a la noche de 1696 en que Johann Bernoulli propone a los honorables miembros de la Royal Society que determinen la braquistócrona, con el invaluable libro de cuatro chelines como acicate.

"Dados dos puntos A y B sobre un plano vertical, débese determinar la trayectoria AMB de una partícula M a lo largo de la cual, descendiendo por su propio peso, M se moverá de A a B en el menor tiempo posible". En pocas palabras, como dijimos, "determine la braquistócrona".


Determine la braquistócrona

Si creemos a Johann (y no a su hermano), éste descubrió algo que lo movió a escribir, en enero de 1697, una carta a Huygens en la que decía: "Te vas a quedar petrificado cuando te diga que la cicloide es, precisamente, la braquistócrona solicitada". Es decir, que el camino que utiliza un tiempo más corto para un móvil que cae por gravedad tiene forma de cicloide.

 


Camino más rápido entre A y B: una cicloide

Como se ve en el diagrama anterior, el sentido común (que normalmente conduce a error), nos dice que el camino más rápido para que la bolita pase de A a B es un plano inclinado AB. Sin embargo, el braquistócrono es la cicloide ilustrada. Claro, Newton, sabía que la mayor aceleración en la parte más vertical de la curva aceleraría el móvil más que la aceleración constante de un plano inclinado, lo cual demostró utilizando el cálculo infinitesimal. De hecho, su solución de este problema se considera el primer resultado exitoso de sus "fluxiones" (él llamaba así al cálculo).

Así como los hermanos Bernoulli se pegaban entre ellos para ver quién descubría las cosas antes, y como Leibniz decía que él había descubierto primero el cálculo infinitesimal (aunque Newton, como dije, lo había hecho antes en silencio), sucedió que Johann y su hermano apoyaban a Leibniz en su reclamo. Hay quien dice, entonces, que el envío del desafío al viejo león fue una forma de burlarse de él, pensando que no sería capaz de resolverlo. La ladina carta de Bernoulli, inocentemente entregada por Halley, decía: "Hay pocos que son capaces de resolver mis excelentes problemas, especialmente muy pocos entre esos matemáticos que han visto crecer su fama a través de dorados teoremas que ellos creen que nadie más conoce, aunque hayan sido previamente publicados por otros...". Era, en realidad, una directa acusación (injusta, además) a Newton de plagiar el trabajo de Leibniz.

Halley afirma que Newton, ofendido, no durmió hasta tener resuelto el asunto a las cuatro de la mañana, sabedor de que era imposible que un problema resuelto por Bernoulli y Leibniz le permaneciera inaccesible.

Newton diría más tarde, consciente de que su solución era mejor que la de los otros: "Me molesta que me desafíen e insulten algunos que no son más que extranjeros en la matemática...".

Bernoulli contaba con una ventaja sobre Newton: el inglés resolvió la braquistócrona sólo con un lápiz, un papel y su cerebro, mientras que Bernoulli lo había hecho a través de la observación experimental, estudiando la trayectoria de un rayo de luz a través de un medio no uniforme. Demostró cómo esta trayectoria se relacionaba con el problema mecánico de un objeto moviéndose a velocidades variables y comparó la versión óptica con la mecánica.

La comparación era que en un caso, la densidad óptica es inversamente proporcional a la velocidad, en tanto que la densidad de un medio físico guarda la misma proporción con la velocidad de caída libre de un objeto. "De esta forma", escribió el ególatra Bernoulli, "he resuelto dos difíciles problemas: uno óptico y otro mecánico...". Por supuesto que su solución se basa en la ley de Galileo de cuerpos en caída libre (según la cual las velocidades de caída son la raíz cuadrada de la altura). También da crédito a Huygens: "Antes de terminar, expresaré mi admiración por el hecho de que la tautócrona de Huygens y mi braquistócrona sean, inesperadamente, la misma curva. Encuentro especialmente admirable que esta coincidencia sólo es posible bajo la hipótesis de Galileo, de lo que obtenemos una prueba de que aquélla es correcta. La naturaleza tiende siempre a actuar de la manera más simple posible, y así permite, en este caso, la existencia de una sola curva que cumple ambas funciones, condiciones bajo las cuales, con cualquier otra hipótesis, necesitaríamos dos curvas...".

Bernoulli era un genio, pero no uno incomparable. No tenía idea, por ejemplo, de que, además de las propiedades que tanto lo entusiasmaban, la cicloide, aparte de ser la tautócrona y la braquistócrona, es la única curva posible que describe la caída libre gravitacional radial contra el tiempo propio en la Teoría de la Relatividad General. En la frase citada más arriba, además, puede reconocerse el puntapié inicial del Principio de Maupertuis (o "Principio de la mínima acción").

Unos pocos cálculos

Uno de los grandes logros de Newton (obtenido simultáneamente también por Bernoulli y Leibniz) es el descubrimiento de la ecuación diferencial de la cicloide. Si indicamos como x e y las coordenadas de un punto genérico a lo largo de la cicloyde, y x+dx e y+dy a las de otro punto infinitamente cercano al primero, entonces:

Sabiendo esto, lo que hizo Newton fue encontrar la ecuación paramétrica de la cicloide para resolver el problema con su "garra"...

Imaginemos que el círculo generador de la cicloide (aquél que hacíamos rodar por el plano) tiene radio 1, y elijamos un punto cualquiera de la curva. Llamaremos P a tal punto, de nuevo x e y a sus coordenadas, y t a la medida en radianes del ángulo PÖB, igual a la abertura del arco PB. Entonces tenemos que

AB = PB
que
BC = PQ
y también que
PC = BQ
Luego:
x = AC = AB - BC = t - PQ = t - sen t
y también
y = PC = QB = OB - OQ = 1 - cos t

Cuando el círculo completa una rotación entera, el arco variará entre 0 y 2p. El punto definido por las coordenadas
(t-sen t, 1-cos t)
describe la cicloide.


Diagrama de la ecuación paramétrica de Newton para las cicloides

Braquistócrono mecánico

La braquistócrona se puede visualizar muy bien con un aparato construido por el italiano Francesco Spighi en 1775.

El sistema de Spighi ilustra acabadamente la ley que Galileo descubrió y que inmortalizó en una carta a Guidobaldo del Monte. Es la misma que Bernoulli, Newton, Leibniz y Huygens utilizaron más tarde y de la cual hemos estado hablando en profundidad.


Braquistócrono de Spighi


El braquistócrono de Spighi tiene un riel o surco de madera de forma cicloidal, apoyado en dos pies con tornillos para ajustarlos. Paralelo al cicloide hay otro canal recto que cruza la curva.

La inclinación del surco recto puede variarse, apoyándolo en los clavos que bordean la cicloide. Mediante una palanca se sueltan dos bolitas por los dos rieles simultáneamente. Sea cual sea la inclinación que le demos al surco recto, la bolita que se desplaza por la cicloide siempre llega antes al punto de encuentro.

Lamentablemente, no sabemos casi nada del constructor de este fascinante instrumento.

Nacido en Florencia, parece haber sido un constructor de muebles y armarios que terminó trabajando para el Imperiale e Regio Museum. Sus aparatos pueden verse hoy en el Gabinete de Física del mismo.


Vista posterior de un aparato similar.

El ocaso del viejo depredador


Newton, el león, disfrazado de Sir Isaac

Luego de haber clavado tantas veces sus portentosas garras en el Universo, Newton cambió de profesión.

Sí, como lo leen.

Un buen día, su amigo Halley le recordó a la Reina que el más grande intelecto británico (y el hombre más inteligente de todos los tiempos, hasta donde sabemos hoy) era aún plebeyo. Ansiosamente, Su Majestad mandó llamar al felino y en el momento lo nombró Sir.

Era costumbre (y creo que lo sigue siendo) ofrecer un cargo público al hombre a quien se acababa de promover a la nobleza. La Reina le preguntó qué puesto le gustaría ocupar, pensando que Newton diría "Real Astrónomo de Su Majestad" o algo por el estilo.

Pero Newton se encargó, una vez más, de sorprender al mundo. Dijo: "Ehhhh... Me gustaría ser el Director de la Casa de Moneda". Y así lo nombraron.

Parece que le interesaba encontrar los métodos que usaban los falsificadores, determinar las proporciones de las aleaciones ("ley") utilizadas, etc.

Fue así que Sir Isaac, el viejo león, pasó la última cuarta parte de su vida sin preocuparse por la matemática, la física ni la gravedad, sino persiguiendo y ahorcando a los falsificadores de monedas de oro.


El terror de los falsificadores


Sus últimos escritos, además, no versan ya sobre ciencia, sino sobre alquimia y astrología.

Sin embargo, cuando murió, en 1727, fue el primer científico en ser enterrado en la Abadia de Westminster, en reconocimiento al universo que, por sí mismo, él solito nos había permitido comprender correctamente.

Sobre su tumba han grabado la fórmula de desarrollo del binomio, que Newton descubrió:

El epitafio grabado bajo ella dice:
"H. S. E. ISAACUS NEWTON Eques Auratus, Qui, animi vi prope divina, Planetarum Motus, Figuras, Cometarum semitas, Oceanique Aestus. Suâ Mathesi facem praeferente Primus demonstravit: Radiorum Lucis dissimilitudines, Colorumque inde nascentium proprietates, Quas nemo antea vel suspicatus erat, pervestigavit. Naturae, Antiquitatis, S. Scripturae, Sedulus, sagax, fidus Interpres Dei O. M. Majestatem Philosophiâ asseruit, Evangelij Simplicitatem Moribus expressit. Sibi gratulentur Mortales, Tale tantumque exstitisse HUMANI GENERIS DECUS. NAT. XXV DEC. A.D. MDCXLII. OBIIT.  XX. MAR. MDCXXVI".
("Aquí descansa Sir Isaac Newton, caballero que con fuerza mental casi divina demostró primero que nadie, con su brillante matemática, los movimientos y figuras de los planetas, los senderos de los cometas y el flujo y reflujo del océano. Investigó cuidadosamente las diferentes refracciones de los rayos de luz y las propiedades de los colores originados por aquellos. Intérprete laborioso, sagaz y fiel de la naturaleza, la Antigüedad y las Santas Escrituras, defendió en su filosofía la majestad del Todopoderoso y manifestó en su conducta la sencillez del Evangelio. Dad las gracias, mortales, al que ha existido así y tan grandemente como adorno de la raza humana. Nació el 25 de diciembre de 1642; falleció el 20 de marzo de 1727").

Sir Alexander Pope agregó un epitafio de su cosecha para Newton: "La Naturaleza y sus leyes yacían ocultas en la oscuridad. Dios dijo entonces: ´¡Sea Newton!´, y todo se iluminó".

Por cierto, John Collins Squire añade en broma: "Pero esto no terminó aquí... El Diablo gritó: ´¡Sea Einstein!´, y la situación anterior se restableció".

Así murieron las garras del viejo león, aquellas que habían comenzado a afilarse con el molino a ratón.


Mascarilla mortuoria de Newton, tomada del cadáver

Cuando Newton tenía siete años, el gato de la casa desapareció, y nunca volvió a los lugares que solía frecuentar.

La última vez que vieron al animal, casualmente, el niño Newton estaba construyendo un globo de aire caliente.

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