DIVULGACIÓN: La mujer que casi derrota al Teorema de Fermat

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"Monsieur Le Blanc"


por Marcelo Dos Santos (especial para Axxón)
www.mcds.com.ar

 

Lugar: Beaumont-de-Lomagne, a 60 kilómetros de Toulouse, Francia.

Momento: 17 de agosto de 1601.

Un recién nacido, llegado a este planeta ese día y en ese lugar, estaba destinado a cambiar la faz del mundo y de la ciencia.

Era un niño brillante, se convirtió en un joven brillante y se destacó en lo suyo a tal grado que hoy en día, casi cuatro siglos después, seguimos rompiéndonos la cabeza para comprender sus avanzadas ideas.

Pierre de Fermat evidenció pronto sus capacidades: con apenas 30 años de edad fue nombrado ministro de la Suprema Corte en Toulouse, y jamás nadie le discutió el cargo, que retuvo hasta el fin de su vida, 35 años más tarde.

Brillante abogado y juez, Fermat fue también lingüista (hablaba seis idiomas). Escritor, traductor (corregía con éxito los textos griegos mal traducidos por sus contemporáneos) y poeta, escribía grandes poemas en cualquiera de las lenguas que dominaba.

Pero no se conformaría con esto: curioso y voraz lector, desde pequeño se sintió atraído por la matemática, campo que llegaría a dominar como nadie de su tiempo y actividad por la cual se lo estudia y reverencia hoy.


Siempre se consideró que el libro pionero sobre geometría (descontando, claro, a Euclides) fue La Géométrie de Descartes, publicado en 1637. Sin embargo, Fermat había escrito antes su notable Ad Locos Planos et Solidos Isagoge, primer texto de geometría analítica del mundo, y la obra circulaba en copias manuscritas desde 1636. Fue impreso recién en 1679, luego de la muerte de su autor, pero igualmente precede a Descartes por un año.


Pierre de Fermat


Los logros de Fermat comenzaron a sucederse sin solución de continuidad: es impresionante que un matemático aficionado (no olvidemos que estudió leyes y era juez, nunca estudió matemática formalmente) haya conmovido los fundamentos de su ciencia de forma tan profunda y perdurable.

Para comprender acabadamente la talla real de Fermat, recapitularemos aquí, en lista no exhaustiva e incompleta, algunos de sus logros:



Podríamos seguir así durante horas, pero nos detendremos para no aburrir al amable lector.

Luego de esa vida tan productiva e increíblemente trascendente, Pierre de Fermat falleció en Castres, cerca de su ciudad natal, el 12 de enero de 1665.




Como sabrán todos lo que leen los Zappings de Axxón, tal vez lo más popular y conocido relacionado con Fermat sea su célebre "Último Teorema".

Resumiremos lo ya explicado en aquel artículo: el hijo de Fermat descubrió, luego de la muerte de su padre, un comentario escrito por su padre en el margen de un libro de Diofanto. Esa anotación es lo que conocemos como Último Teorema de Fermat. Al pie del comentario agregó: "He encontrado una extraordinaria demostración para este problema, pero no me alcanza el margen para escribirla". La tal prueba nunca fue encontrada y los matemáticos piensan que en efecto existía, pero que estaba equivocada. Es por ello que el Teorema de Fermat enloqueció a los científicos de todos los tiempos. Con sangre, sudor y lágrimas descubrieron que el problema era mucho más dificultoso de lo que a primera vista parece. Lucharon con él durante casi dos siglos, hasta que, a principios del XIX, un matemático desarrolló por fin una estrategia sólida que, al decir de muchos, tenía la capacidad de resolver el enigma de una buena vez.

Pero aquí ocurrió un hecho angustioso, abismal, aterrador: toda la técnica de ese matemático permaneció desconocida hasta hoy, porque sus papeles se conservaron pero nunca fueron leídos ni estudiados, permaneciendo sepultados bajo montañas de polvo en una biblioteca francesa.

El matemático en cuestión comparte con Fermat el hecho de haber sido aficionado. Al igual que él, nunca estudió matemática en la universidad. Y no lo hizo porque se trataba de una mujer, que en su tiempo tenían prohibido el acceso a los estudios superiores.


Marie-Sophie Germain nació en París el 1º de abril de 1776, en una familia de comerciantes acomodados. Cuando tenía 13 años, cayó en sus manos un libro sobre Arquímedes, donde se explicaba cómo había muerto el matemático. Durante la Segunda Guerra Púnica, las tropas romanas al mando de Marcos Claudio Marcelo invadieron Siracusa —donde vivía Arquímedes— y tomaron la ciudad. El sabio se encontraba absorto, observando con total concentración un diagrama matemático acerca de los círculos, cuando un soldado romano le habló y le ordenó que lo acompañara a ver a Marcelo, que deseaba hablar con él. Arquímedes le respondió μή μου τούς κύκλους τάραττε, lo que nosotros traduciremos como "No me molestes... ¿no ves que estoy ocupado con mis círculos?". El soldado romano se sintió tan agraviado por semejante falta de respeto que sacó su espada y mató al científico, que nunca levantó la vista de sus papeles, ni siquiera se enteró de que el arma descendía sobre él y por tanto tampoco amagó un gesto de defensa. El general Marcelo castigó severamente al soldado, porque ansiaba conocer a Arquímedes y había dado órdenes concretas de que no se le hiciera daño.


Sophie Germain, leyendo esto, hizo el siguiente razonamiento: si alguien podía concentrarse sobre la matemática a tal punto de no darse cuenta de que un soldado estaba a punto de asesinarlo, debía haber algo increíblemente interesante en esa ciencia. Así fue que comenzó a leer vorazmente y descubrió los trabajos del célebre matemático italiano Joseph-Louis Lagrange. Su tenacidad en el estudio de la matemática fue tal que desafió todos los esfuerzos de sus padres por desalentarla. Un amigo de Sophie dijo en su funeral que "Sus padres apagaban el fuego de su habitación, le quitaban la ropa y la dejaban encerrada, muerta de frío y sin una sola vela, para obligarla a descansar. Pero ella estudiaba igual, envuelta en mantas, luchando con la tinta que se congelaba en el tintero, haciendo cálculos a la luz de la luna". Tenía solo 14 años en ese entonces.


Arquímedes


Sophie se decidió a comunicarse con Lagrange: escribió algunos teoremas suyos, pero pronto comprendió que el profesor no haría caso de una muchacha que quería ser matemática. Sophie averiguó que uno de los alumnos de Lagrange, Monsieur Antoine-Auguste Le Blanc lo había abandonado hacía un tiempo, así que firmó los papeles con su nombre.

El profesor se sintió tan impresionado por la potencia intelectual que evidenciaban los trabajos, que de inmediato escribió una carta al falso Le Blanc insistiendo en reunirse con él. Sophie no tuvo más remedio que concurrir y decirle la verdad, y de inmediato la inteligencia, la juventud y la belleza de la chica forzaron a Lagrange a convertirse en su maestro.


Sophie Germain a los 14 años (grabado de Auguste-Eugène Leray)


No fue la única vez que Sophie utilizó esa trampa: en 1804, tras haber leído las Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss, comenzó a escribirle, firmando nuevamente "Le Blanc". La historia de cómo el alemán se enteró de la verdadera identidad de Sophie también merece ser comentada. En 1806, las tropas napoleónicas invadieron Prusia, y un regimiento conquistó la ciudad de Gauss, Brunswick. Sophie, teniendo presente el triste destino de Arquímedes, y conociendo el proverbial mal carácter de Gauss, tuvo miedo de que le sucediera algún percance similar al del griego, reemplazando al soldado romano por uno francés. Era amiga personal del general de artillería de la ocupación, Pernety, de modo que fue a verlo y le hizo jurar que de modo personal garantizaría la seguridad y la integridad física del notable físico alemán. Tan persuasiva fue en la importancia de Gauss para la ciencia, que Pernety en persona se presentó ante Gauss para decirle que su tranquilidad estaba garantizada y que ningún soldado francés estaba autorizado a molestarlo, so pena de enfrentar un pelotón de fusilamiento. Cuando el gran matemático le preguntó por qué, Pernety le respondió que así se lo había prometido a Mademoiselle Germain. El militar estaba convencido de que Gauss y ella eran amigos. Cuál no sería su sorpresa al ver la cara de confusión de Gauss... "¿Quién?", preguntó. "No la conozco". Enterada de ello, Sophie escribió a Gauss explicándole la verdad, a lo que el alemán contestó con esta carta: "¿Cómo describirle mi admiración y sorpresa al ver a mi estimado corresponsal Le Blanc metamorfosearse en el ilustre personaje que me dio un brillante ejemplo de lo que yo encontraría difícil de creer? El gusto por las ciencias abstractas en general y sobre todo por los misterios de los números es en exceso raro, uno no se sorprende por ello: el delicioso encanto de esta sublime ciencia solo se revela a quienes están dispuestos a sumergirse profundamente en ella. Pero cuando una persona del sexo que, de acuerdo a nuestras costumbres y prejuicios, debería encontrar infinitamente más dificultades que los hombres para familiarizarse con estas espinosas investigaciones, tiene éxito a pesar de todo para remontar esos obstáculos y penetrar sus partes más oscuras, ella debe tener entonces, sin duda alguna, el más noble coraje, los más extraordinarios de los talentos y el más superior de los genios. En verdad, nada me demuestra mejor, de modo tan lisonjero e inequívoco, las atracciones de esta ciencia, que la predilección con que usted la ha honrado".


Joseph-Louis Lagrange


Luego de elogiarla de semejante manera, Gauss comenzó sin embargo a perder el interés por las matemáticas puras y se volcó a la ciencia aplicada. En 1808 fue nombrado profesor de astronomía en la Universidad de Göttingen y dejó de responder las cartas de Sophie.


La Academia de Ciencias Francesa organizó, en 1811, un concurso que consistía en explicar la ley subyacente en los estudios sobre vibraciones en superficies elásticas. Sophie se inscribió y produjo dos soluciones erróneas, pero al tercer intento —que le llevó cinco años—, consiguió dar con la solución. La elegancia y la efectividad de su demostración (algo similar a lo que ocurrión con Newton y la "Garra del León"), obligó a los académicos franceses a hacer una excepción con el machismo en boga y a nombrarla académico de número. De la noche a la mañana se había convertido en una matemática famosa y celebrada, y además, en la primera mujer en sentarse en el augusto recinto de la Academia. También fue la primera mujer en aportar avances significativos a la ciencia matemática.


Sophie pasó el resto de su vida profundizando en la teoría de la elasticidad y las superficies curvas, y sus resultados fueron tan productivos que Gauss, que la había olvidado, nuevamente reconoció sus méritos y prácticamente obligó a su universidad a otorgarle un doctorado honorario en matemática. Los directivos accedieron, pero la vida es a veces muy injusta: Marie-Sophie Germain murió pocos días antes de la ceremonia en que se le entregaría su diploma, el 27 de junio de 1831.


Así pasó la vida de esta genial mujer, respetada y admirada por los ya citados Lagrange y Gauss y también por Adrie-Marie Legendre. Este último creía —como todos sus contemporáneos— que Sophie no se había dedicado particularmente a la teoría numérica, y su único trabajo conocido en este campo era atribuido a la dama, precisamente, por Legendre, en una nota al pie en uno de sus libros. Sin embargo, Rainhard Laubenbacher del Politécnico de Virginia y la Universidad Estatal en Blacksburg y David Pengelley de la Universidad Estatal de Nuevo México en Las Cruces se decidieron a demostrar que esto no era así, que Sophie había sido una gran matemática numérica: averiguaron que había manuscritos jamás estudiados de la sabia francesa en la Bibliothèque Nationale de París, y allí se dirigieron. La sorpresa les golpeó en el rostro y los llenó de felicidad: se trataba de más de 2.000 páginas de anotaciones de Sophie que nunca nadie se había tomado el trabajo de leer. De ellas, muchos cientos trataban de teoría de números, demostrando el error de Legendre en la famosa nota al pie, diciendo que el que citaba era el único trabajo numérico de Germain.


Carl Friedrich Gauss



Previsiblemente, muchos de los papeles contenían trabajos extraordinarios, incluyendo un texto de 20 páginas exquisitamente presentado, sin una sola corrección ni error. "Personalmente creo", nos dice Pengelley, "que Sophie tenía pensado enviarlo a la Academia Francesa para intentar ganar el premio asignado a quien resolviera el Último Teorema de Fermat".


Como expusimos en el Zapping citado, el Último Teorema de Fermat (UTF) dice que no existen ni pueden existir tres números x, y y z tales que


xn + yn = zn


para cualquier número mayor que n=2. Hay numerosas soluciones para n=2, por ejemplo 32 + 42 = 52. No se encontraron soluciones generales hasta 1994, cuando Andrew Wiles, de la Universidad de Princeton, consiguió resolverlo utilizando sofisticadas herramientas de geometría algebraica.


Pero en vida de Sophie, no había otra forma de atacar el problema excepto demostrando uno por uno todos los valores de n, procedimiento que debía bastar para probar el teorema para todos los exponentes primos. Sophie desarrolló lo que hoy conocemos como "Teorema de Germain", que probó que el UTF era verdadero para cualquier n que fuese un número primo menor que 100, siempre y cuando x, y y z no fuesen divisibles por n.

Esta comprobación fue extraordinaria en sí misma, y volvió a Sophie más famosa aún de lo que ya era.

En realidad, los investigadores modernos creen que Sophie trabajó mucho más aislada de lo que se pensaba anteriormente, ahora que Pengelley y Laubenbacher han encontrado sus papeles. Antes se creía que Legender la había tenido como alumna (ya que ambos eran contemporáneos, vivían cerca y trabajaban en el UTF) y que le había transmitido la mayor parte de las soluciones que ella escribía, pero las notas redescubiertas demuestran que la muchacha probó independientemente la mayoría de los mismos teoremas que demostró el científico, y que cada uno ignoraba todo acerca del trabajo del otro. Dice Pengelley: "Las técnicas de Legendre eran mucho más ad hoc que las de ella. Germain desarrolló una aproximación teórica, un algoritmo, porque se concentró en métodos aplicables a demostrar los casos generales. Ella era mucho más matemática teórica que él".


Y la maravilla sobrepasó a Pengelley y Laubenbacher. Estudiando sus anotaciones, descubrieron que Sophie había logrado exceder a todos los matemáticos hasta ella: fue la única en diseñar un plan posible, plausible y realista para demostrar el UTF. No un número a la vez. No solo para los números primos. No limitado a los casos en que x, y y z no fueran divisibles por n. Un plan para demostrar el caso general. Un plan que solo pudo cumplirse en 1994 y con computadoras. El plan se conoce hoy como "Teoría de Germain", era revolucionario en el siglo XIX y lo sigue siendo aún hoy.

Sophie Germain leyó el libro de Gauss que explicaba los nuevos procedimientos matemáticos que había desarrollado. Apenas posó sus ojos sobre él, la joven gritó "¡Es el pasaporte para probar a Fermat!". Nunca nadie había razonado así antes de ella. Si su idea hubiese funcionado, habría probado la conjetura completa de un plumazo. Pero, como consecuencia de que su trabajo fue desconocido para sus contemporáneos y para todos nosotros hasta hace apenas unos meses, los matemáticos de todo el mundo se pasaron los 80 años siguientes a la muerte de Sophie intentando probar teoremas que ella había demostrado cuando tenía menos de 30 años.

Cuando Gauss se enteró, en 1819, de que Sophie había leído su libro y pensaba utilizar sus técnicas para el UTF y otros problemas, le escribió una larga carta donde le explicaba en profundidad algunas cosas que no figuraban en el libro y le pidió que se las criticara y que comenzase a colaborar con él. En ella escribe: "Me complace que la aritmética haya conseguido en usted una amiga tan capaz".

El sistema de Sophie en verdad utilizó la técnica modular explicada por Gauss en su obra magna: consiste en dividir distintos números por un número fijo y tomar en cuenta solamente el resto. Así, 4 módulo 3 es 1 pero 7 módulo 3 también es igual a 1. Ella creía que sería más fácil probar que la ecuación de Fermat no podía ser verdadera tomando como módulo cierto "primo auxiliar", llamado P. Era una intución genial, pero tenía un costado extremadamente complicado. Uno de los pasos del procedimiento exigía dividir ambos términos de la ecuación por x. Si se llegaba a dar la circunstancia de que al dividir P por x no hubiera resto, entonces


x = 0 módulo P


y todos sabemos que en matemática es ilegal dividir por 0. Por el mismo motivo, tampoco x, y ni z pueden ser divisibles por P.

Resumiendo: si Sophie hubiese conseguido probar que el UTF no soportaba el módulo P, la versión no modular tampoco soportaría que x, y y z fuesen divisibles por P. Pero eso no bastaba. Y Sophie no soportaría restricciones en su demostración.


Moneda con la efigie de Sophie


Así que la mujer se dedicó a encontrar una solución a este problema: al notar que para cada valor concreto de x, y o z solo hay una cantidad finita de números que son divisibles por ellos. Es decir que solo debía probar un método que permitiera generalizar esto a cualquier valor de P, o, mejor dicho, un número infinito de valores de P. Para cualquier valor de x, y y z, ella hubiese probado que, para un cierto P, la ecuación de Fermat no podía ser cierta para módulo ese valor. Eso significaría que la ecuación no soportaba ningún valor determinado de x, y y z, y por consiguiente el UTF quedaría probado.


Habiendo comprendido todo esto, Sophie escribió a Gauss una carta donde demuestra que era consciente de sus éxitos y también de sus fracasos: "Nunca he logrado llegar al inifinito, a pesar de que he empujado los límites bastante lejos mediante un método demasiado largo para describirlo aquí. Fácilmente puede usted imaginar, Monsieur, que he podido tener éxito en probar que esta ecuación no es posible excepto con números cuyo tamaño espanta a la imaginación... Pero todo eso no es suficiente; tengo que llegar a lo infinito y no solo a lo enormemente grande". Fiel a su costumbre, el físico prusiano jamás le respondió.

Es posible que la principal razón de que Sophie nunca haya llegado a ese infinito, y por lo tanto a probar el caso general del UTF, haya sido la naturaleza solitaria de su trabajo. Lubenbacher y Pengelley han encontrado, desperdigados a lo largo y a lo ancho de su obra, muchos pequeños errores. El primero de ellos afirma: "Todos cometemos errores, pero los colegas o los profesores los encuentran y corrigen. Sophie nunca disfrutó de esa ventaja". Pengelley agrega: "Pienso que lo que esos errores demuestran es que ella no tenía a nadie que leyera sus trabajos ni que interactuara con ella. Es probable, aunque para mí es absolutamente increíble, que muchos de sus más importantes manuscritos jamás hayan sido leídos por nadie hasta que nosotros los redescubrimos".

Pero el intento de Sophie, aunque no hubiese incluido errores, nunca hubiese funcionado. La razón es clara y simple: se trata de un problema extremadamente complicado, que necesitó otros dos siglos de desarrollo de nuevas y cada vez más poderosas herramientas matemáticas para ser resuelto. Y en tiempos de Sophie esas herramientas no existían, ni tampoco los conceptos teóricos en que se basan.

Y al final, ella misma probó que su sistema no servía.


Busto de Sophie en París


"Nunca dejé de meditar acerca de la teoría numérica", explica en la carta citada. "Le daré una idea del compromiso que siento ante esta área de investigación: admito ante usted que, aún sin esperanza de éxito, sigo prefiriéndola antes que otro tipo de trabajos que me interesan mucho y que garantizan la obtención de resultados".


En esta línea, y a pesar de no haber podido resolver el UTF, Sophie descubrió los que hoy conocemos como "Identidad de Germain", que en verdad anduvo muy cerca, ya que reduce drásticamente las posibilidades de solución para el célebre problema. El teorema dice que, si x, y y z son enteros, y


x5 + y5 =z5


entonces x, y o z tienen que ser divisibles por 5. Esta demostración permaneció sepultada durante años en una carta a Gauss que el alemán nunca contestó.

Sophie también postuló correctamente el importantísimo concepto del "Primo de Germain". Se trata de un número primo p, en donde


2p + 1


también es primo.

Finalmente, otra "Identidad de Germain", muy utilizada, que postula que


x4 + 4y4 = (x2 + 2y2 + 2xy) (x2 + 2y2 - 2xy)


siendo x e y dos números cualesquiera.


Así, hemos traído a la luz la vida y la obra de esta mujer, tan impar como desconocida, y tan importante como poco estudiada, que tuvo que esperar a 2008 para que sus trabajos comenzaran a ser tenidos en cuenta.

Sophie Germain debió luchar contra los prejuicios de su tiempo, de su profesión y de sus colegas, y, aunque no pudo superar todos los obstáculos, no dejó de trabajar en sus investigaciones hasta su muerte, a los 55 años, víctima del cáncer de mama.

Por ello creímos importante hacerle este pequeño homenaje como modelo a seguir, especialmente en el Día Internacional de la Mujer. Tanto la calle Sophie Germain de París como el cráter venusiano Germain la recuerdan también.


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